Matematika v mnoha rozměrech
2. 12. 2011
Všichni jsme zvyklí žít v trojrozměrném prostoru – to však neznamená, že by neexistovaly světy vícerozměrné. Michael vás tentokrát provede od nula rozměrných objektů přes 2D a 3D až ke 4D. Spolu se svým kamarádem matematikem Mattem si pak pohraje s papírem a nůžkami a dospěje k překvapivým tvarům. Nakonec pak Matt Michaela matematicky zatkne.
Tereza: Krychlovou strukturu diamantového krystalu z minulého Portu jsme dnes zaměnili za tuto velkou krychli kyberprostoru.
Filip: A do ní posadili samotného Michaela.
Michael: Přiznám se, že zrovna tohle není můj šálek čaje. Raději mám jiné aktivity. Ale dokážu ocenit uměleckou a hlavně vědeckou práci na tomto vzrušujícím světě počítačových her.
Tereza: A Michael se znovu noří do honičky ve virtuálním chrámu.
Filip: Počítačový program jako je tento, takovou virtuální realitu umožňuje.
Michael: Vytvoří trojrozměrný pohled na objekty, jako jsou tyto, z každého úhlu.
Filip: Uvnitř prostoru se potom můžeme otáčet a ukázat jej v perspektivním pohledu z kteréhokoli bodu.
Michael: Tento počítačový program je nejspíš docela současný. Ale věda, která za ním stojí, má svůj začátek před více než …
Filip (Descartes): … 350 lety. A to díky mně.
Michael: René Descartes.
Filip: Osobně. Bonjour! Ale toto? Magnifique. Oui.
Dobrý den.Úžasné.
Michael: Rene Descartes has to be one of my all time favourite scientists. A freethinker capable of looking at things, thinking about things from new perspectives.
René Descartes je jedním z mých nejoblíbenějších vědců. Volnomyšlenkář, který se na věci dovedl dívat, uvažovat o nich z nového pohledu.
Žil v době náboženských válek a pronásledování v Evropě, pod hrozbou mučení ze strany inkvizice.
Tereza: Ačkoli se Descartes narodil ve Francii, velkou část svého života strávil v Amsterdamu, kde byla omezena moc katolické církve. Měl odvahu prosadit filozofii, v níž dominuje rozum. Schopnost pochybovat a umět posuzovat svět z jiné perspektivy, oproštěné od jakýchkoli předem vytvořených představ.
Tereza: Vytvořil tak základ moderního racionálního myšlení a vědecké metody poznání.
Michael: Logická čistota matematiky Descartovi sloužila jako vzor pro jeho úvahy.
Filip (Descartes): Tvořil jsem analytickou geometrii, ve které jsem spojil algebraický a geometrický pohled. Tím jsem umožnil, že se euklidovský prostor, tedy krychle, osmistěn, mnohostěn, dá vyjádřit algebraickými metodami a naopak.
Tereza: Klíčem k tomuto úspěchu se Descartovi stalo použití systému souřadnic, které po něm dostaly pojmenování jako souřadnice kartézské.
Filip: S jejich pomocí můžeme číselně vyjádřit polohu, stavbu i projekci bodů a předmětů v trojrozměrném prostoru.
Tereza: A tak i v tomto trojrozměrném, prostorovém modelu je každý bod uložen pomocí kartézských souřadnic.
Filip: To znáte…x, y a z. Tedy možnost určit polohu kteréhokoli daného bodu jako funkci vzdálenosti od vodorovné osy x, y a z.
Michael: Díky Descartově analytické geometrii se dá spojení mezi různými jednotlivými body vyjádřit pomocí rovnice. A ty už počítače umějí dokonale zpracovávat.
Filip: A voilá, jak by řekl Francouz Descartes, máme tu přesvědčivou virtuální realitu.
Michael: Možnost převést prostor i jiným způsobem než pouhou kresbou, vlastně jak jste to dělal vy, čili v matematických souřadnicích, sehrála později zásadní roli v Einsteinově teorii relativity.
Filip (Descartes): Einstein. Neznám. Apropos – dokonce lze ke třem osám mého souřadnicového systému přidat ještě další.
Michael: Takže výpočty lze provádět i v hypotetickém prostoru, který je čtyř- i vícerozměrný!
Filip: Čtyřrozměrný prostor…to bych opravdu rád viděl.
Michael: Well, unfortunately I cannot show you a 4-dimensional object because we live in a 3-dimensional world. But I can give you something 4-dimensional to think about. Have a look.
Bohužel vám nemohu ukázat čtyřrozměrný předmět, protože žijeme ve trojrozměrném světě. Mohu vám ale předložit něco čtyřrozměrného, o čem můžete přemýšlet. Podívejte se.
Filip (Descartes): Prosím, pane kolego.
Michael: Já to neznám. Radši tohleto.
Let’s start with a zero-dimensional object. A point. Zero dimensions. Now I’m going to join another zero-dimension object. Another point. Let’s link them together. Now I have a line, which is a one dimensional object. It has the property of length. Now I draw another line. And I link the two lines together. Linking two one-dimensional objects gives us a two-dimensional object – a square.
Začněme s předmětem bez rozměru. Bodem. Žádné rozměry. Teď k němu připojím další bezrozměrný předmět. Další bod. Spojme je dohromady. Mám čáru, což je jednorozměrný předmět. Jeho vlastností je délka. Nakreslím další čáru. A spojím tyto dvě čáry dohromady. Spojením dvou jednorozměrných předmětů získáme dvourozměrný předmět – čtverec.
So what happens if we link two squares together? Maybe you begin to see a logic behind this. By linking two 2-dimensional objects together, two squares, I achieve a 3-dimensional object, a cube.
Co se stane, jestliže spojíme dva čtverce? Snad za tím uvidíte logiku. Když spojíme dva dvojrozměrné předměty, dva čtverce, dostanu trojrozměrný předmět – krychli.
So, according to our logic then if I link two 3-dimensional objects together, I should arrive at a 4-dimensional object. And that is indeed a case.
Jestliže pak podle naší logiky spojíme dva trojrozměrné předměty, měl bych dostat předmět čtyř rozměrný. A to je opravdu ten případ.
Now link them together and there we have it. That is a 4-dimensional cube. We call it a hypercube.
Propojme je dohromady. A tady to máme. To je čtyřrozměrná krychle. Říká se jí hyperkrychle.
This is very tricky for our brains to really gage or engage. It’s because our brains are used to living and conceiving 3-dimensional objects, living in a 3-dimensional world.
Pro náš mozek je velice obtížné, dostat se do toho. Protože naše mozky jsou zvyklé představit si trojrozměrné předměty, žijí v trojrozměrném světě.
But this is so mind-bending, because all it is, is a 2-dimensional drawing of a 3-dimensional shadow of a 4-dimensional object.
Tohle je ale tak složité, protože to všechno je dvojrozměrná kresba třírozměného stínu čtyřrozměrného předmětu.
But that’s why I want you to think about these things. We have to think about these things if we have clear mind, free like Descartes said: Free of preconceived notions. A hypercube.
Proto ale chci, abyste o těchto věcech přemýšleli. A musíme o nich přemýšlet, když máme čistou mysl. Volnou, jak říkal Descartes. Oproštěnou od předem vytvořených představ.
Hyperkrychle.
Michael: Pokud se vám to zdá příliš náročné, naštěstí tady mám kamaráda a přítele z Anglie.
Matt Parker: Díky. Jmenuji se Mat Parker a jsem matematik na univerzitě Queen Mary. A my tam umíme krásně věci s papírem.
Tohle je obyčejný kus papíru a mohli byste tvrdit, když odhlédneme od jeho tloušťky, že je to dvojrozměrný povrch. A když začnete provádět věci jako je tato – je to 2D, je to 3D?
Co kdybych ho vzal a zmačkal ho, je to stále dvojrozměrný povrch, ale je zmačkaný do 3D.
Mohli bychom jít o krok dále. Vezměme dvojrozměrný povrch, můžeme spojit konce do tří rozměrů. Vezmu si kousek lepicí pásky a konce spojím, ale papír stočím, takže mám 2D povrch, který je stočený do tří rozměrů. Takže to není dvojrozměrný tvar, není to trojrozměrný tvar, je to něco mezi tím. Je to dvojrozměrný tvar, který existuje ve 3D.
No a teď můžeme, abychom vám ukázali něco opravdu výstředního, ho rozstřihnout napůl. Rozstřihneme tento tvar na dva stejné tvary. Zajímavé na tom je, že i když stříhám přesně uprostřed – a u všeho, co půlíte, očekáváte, že dostanete dvě části, tady dostanete zase jen jednu. Něco jsem rozstřihnul napůl, ale skončil jsem s jedním kusem. A to mně prostě fakt baví.
A teď můžeme udělat něco trochu jiného. Vezmeme si další pásek papíru a tenhle třikrát zkroutíme. Takže začínám se smyčkou, udělám jednu, dvě tři otočky. Je to stejný povrch, jako předtím, je jen spojený lehce jinak, a pokud vezmete tuto třikrát stočenou smyčku a opět ji rozstřihnete, tak tentokrát opět skončíme s jedním kusem, ale se zavázaným uzlem uprostřed.
To tedy je něco. Začnete s kusem papíru bez uzlu, rozstřihnete ho a máte hned uzel. Protože je to dvojrozměrný povrch spojený ve trojrozměrném povrchu.
Michael: Z dvojrozměrného předmětu na abstraktní trojrozměrný.
Matt Parker: No a teď se podíváme na velmi nudný kruh bez jakéhokoli zkroucení. Každý si myslí, že je to velmi nudný tvar, protože když ho rozstřihnete napůl, dostanete další dva úplně stejné. Ale já udělám jednu malou změnu a jsem zvědavý, jestli uhádnete, co z toho bude. Když rozstřihnete tyto dva povrchy napůl. Slepím je kolmo na sebe, takže vytvoří takové znaménko plus. Tak co myslíte, že dostaneme, když je oba rozstřihneme přesně uprostřed?
21 28 Michael: No idea.
Nemám ponětí.
Matt Parker: Dobře, tak to vyzkoušíme. Začneme s tím prvním. Rozstřihnu předně uprostřed. A dostanu tohle. A teď rozstřihnu ten druhý uprostřed – a naše dva dvojrozměrné povrchy spojené ve 3D, rozstřihnuté napůl, nám dají – čtverec! Tady máš čtverec, ten jsem udělal pro tebe.
Michael: Jako National Geographic.
Matt Parker: Takže samozřejmou otázkou je, co by se stalo, pokud byste měli dvě zkroucené a slepené smyčky. A opět rozstřihnuté. Zase máme dva dvojrozměrné povrchy, vše je dokonale ploché, ale spojené zvláštním způsobem do tří rozměrů. Takže můžete namítat, že je to 2D, i že je to 3D, ale když to rozstřihnete napůl. Je to něco mezi dvěma a třemi rozměry, pak získáte velmi neobvyklé výsledky.
A to velmi zajímavý matematický výsledek. Když je rozstřihnete, to je jeden z nich, tedy rozstřihnu ten druhý, chvíli mi to zabere, než to rozmotám. Tento tvar má velmi zajímavý matematický název. Po rozpůlení dostanete věc, která se nazývá srdce lásky. To je dárek pro tebe.
Tereza: Známe opravdu dobře svět kolem nás? I pro vás doma, ve škole nebo kdekoli jinde máte příležitost vyzkoušet si s proužky papíru, izolepou a nůžkami záludnosti dvou a třírozměrného světa. K přemýšlení můžete přibrat i tužku.
Matt Parker: Dobře. Ukázal jsem ti dvojrozměrné tvary a trojrozměrné tvary a teď ti dám hádanku. Máme tenhle 2D tvar, což je tato vesta, a 3D tvar, což jsi ty. Můžeš si ji prosím obléknout?
Tvým úkolem je obléci si mojí skvělou matematickou vestu. Na líci je krásně černá, a uvnitř má podšívku s krásným vzorem. Tvým úkolem je sundat si vestu a obrátit ji naruby a pak si ji zase obléct. S rukama v poutech.
Ruce před sebe. Jsi matematicky zatčen. Takže aniž by sis je sundal, aniž bys podváděl a aniž bys rozpáral moji vestu, si ji sundáš, převrátí naruby a zase si ji oblečeš, aby kostky byly navrch. Jednoduché, že?
Michael:
Jistě. Tohle je nemožné.
Matt Parker: Začni!
Začínáš uvažovat správně.
Takže už je naruby. Teď už jen stačí si ji znovu obléct.
Ne. Co si člověk uvědomí, že když si to zase oblékneš stejným způsobem, vesta bude lícem navrch. A to my nechceme. Musíme to dát naruby. A to znamená, že tento rukáv musí jít na tamto rameno, a tento rukáv musí jít na toto rameno. Zní to bolestně, ale když vezmeš tenhle a provlékneš ho celý tím druhým, vypadá, že je zpět na líci, ale teoreticky, když vestu oblékneš, převrátí se naruby.
Michael: Obrátit naruby? Matematika v akci.
Matt Parker: Stáhni ji – a je to!
Michael: Hele, koukněte na to!
Matt Parker: Je naruby. Brilantní!
Michael: OK Matt, and what about the handcuffs?
A co ta pouta?
Matt Parker: Můžeš si je nechat.
Michael: Matte, kam jdeš? Matte, ty náramky.
Matt Parker: Ahoj! To je v pořádku.
Michael: Kde je klíček?
Matt Parker: To je dobré!
Michael: No tak, Matte… Matematika.
Tereza: Svět kolem nás je však mnohem složitější, než jak se jeví našemu prostému, neozbrojenému zraku.
Filip: Až moderní astronomie se superdalekohledy a na druhém konci částicová fyzika s obřími urychlovači objevují svět v jeho ohromných i nepředstavitelně malých rozměrech.
Tereza: Základem pro úvahy o stavbě vesmíru i hmoty byly donedávna Einsteinova teorie relativity a kvantová mechanika.
Filip: Jenže dnešním fyzikům brání v uceleném pohledu na svět řada nesrovnalostí. Proto přinášejí nové teorie.
Tereza: Třeba teorii strun. A s ní i pro obyčejného člověka nepředstavitelný svět s deseti nebo jedenácti rozměry.
Filip: Ale o tom zase až jindy.
Autoři: Vladimír Kunz, Michael Londesborough