Jak jsme měřili gravitační konstantu

Měření gravitační konstanty pomocí tzv. Cavendishových vah (říká se jim také gravitační váhy) je poměrně náročný experiment. Určitě chápete, že v kratičkém čase, který jsme na představení tohoto pokusu měli v pátém dílu Rande s fyzikou, jsme se nemohli věnovat detailům. Trochu podrobněji se o to pokusíme v tomto článečku.

Jak bylo řečeno v pořadu, gravitační síla, kterou se přitahují tělesa okolo nás, je velmi malá a její měření není jednoduché. Tedy – ono v principu jednoduché je, ale technické řešení tohoto experimentu je náročné. Jaký je tedy onen princip?

Klikněte pro větší obrázek Hlavními částmi Cavendishových vah jsou dvě olověné koule a tyčinka ve tvaru činky, která je mezi nimi zavěšená na tenkém vlákně. „Činka“ tvoří torzní kyvadlo. Schematicky je toto uspořádání znázorněno na následujícím obrázku.

Velkými koulemi je možné otáčet tak, jak je na obrázku naznačeno (otáčí se vždy oběma současně – koule jsou připevněny na společném otočném držáku). Před otočením je kyvadélko přitahováno z jedné strany, po otočení ze strany druhé. Po přetočení koulí do nové polohy se kyvadélko nepatně otočí. To je způsobeno momenty gravitačních sil mezi velkými koulemi a kuličkami torzního kyvadélka. (Gravitační síly působí samozřejmě i na tyčinku kyvadélka.) Jak asi víte, velikost momentu síly je dána součinem velikosti síly a jejího ramene. Pokud je tedy tyčinka dosti dlouhá, je to ku prospěchu věci – rameno síly je potom větší a větší je i moment síly, který stočí kyvadélko.

Kyvadélko visí na tenkém molybdenovém vlákně (molybden je vhodný proto, že se s časem téměř nemění jeho mechanické vlastnosti). Nejprve zjistíme, jak velký moment síly je zapotřebí na stočení kyvadélka o určitý úhel j. Toto stočení je přímo úměrné momentu působících sil j ~ M. Není tedy problém vypočítat, jak velký je moment sil působících na vahadélko v gravitačních vahách.

Konkrétní výpočet je založený na tom, že platí rovnice M = Dj. V této rovnici vystupuje veličina D, tzv. direkční moment vlákna. Ten umíme změřit pomocí kmitů vahadélka. Znalost direkčního momentu je pro další měření velmi důležitá. Při výpočtu D pomocí změřené periody torzních kmitů kyvadélka musíme znát také moment setrvačnosti kyvadélka, ten dokážeme spočítat ze znalosti jeho geometrie a z hmotností kuliček a spojovací tyčinky. Nebudeme zde ale zacházet do přílišných detailů. Spokojíme se s náznakem „hlavních myšlenek experimentu“.

Při samotném měření nejprve necháme velké koule v jedné krajní poloze a zjistíme, kolem které rovnovážné polohy kyvadélko kmitá. Potom koule přetočíme tak, aby se každá z nich ocitla na opačné straně příslušné kuličky kyvadélka, a opět změříme, kolem které polohy kyvadélko kmitá. No a posunutí těchto dvou rovnovážných poloh odpovídá hledanému stočení molybdenového vlákna momentem gravitačních sil, kterými na kyvadélko působí olověné koule. Z toho už potom umíme vypočítat velikost gravitační síly mezi velkou koulí a malou kuličkou. K výpočtu je samozřejmě nutné co nejpřesněji znát hmotnosti a poloměry velkých koulí, stejně tak i rozměry a hmotnost kyvadélka. K měření doby kmitu a zmíněného posunutí používáme malé zrcátko na vlákně, na které svítíme laserem a pozorujeme pohyb „laserového prasátka“ na devět metrů vzdálené zdi. Výpočty, které vedou až k hodnotě gravitační konstanty, nejsou úplně jednoduché, a proto je zde také nebudeme uvádět. Hodnotu gravitační konstanty dokážeme pomocí našich gravitačních vah změřit s chybou asi deset procent.

A nakonec ještě pro zajímavost. Každá olověná koule ve vahách, které jste viděli v tomto díle Rande s fyzikou, měla hmotnost 18,8 kg a poloměr 7,5 cm. Vahadélko sestává z kuliček o hmotnosti 35 g, s poloměrem 9 mm, spojovací tyčka je dlouhá 276 mm a má hmotnost 6,5 g. Molybdenové vlákno (závěs tyčky) je 40 cm dlouhé a má průměr 30 mm.

Doc. RNDr. Zdeněk Drozd, Ph.D.
Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze